فصل اول مقدمه Error! Bookmark not defined.

1-1   تاریخچه و مفهوم خلاء کوانتومی.. 7

1-2   نیروهای وان در والس…. 8

1-3   مفهوم نیروی کازیمیر. 10

1-4   نیروی کازیمیر. 11

1-5 رهیافت های نیروی کازیمیر. 11

1-5-1   رهیافت انرژی نقطه صفر. 12

1-5-2   رهیافت فشار تابشی نقطه صفر. 13

1-6     نیروی کازیمیر و شرایط مرزی.. 14

1-7     درک شهودی مقادیر نیروی کازیمیر. 14

1-8     نیروی کازیمیر و هندسه اجسام. 15

1-9     اندازه گیری اثر کازیمیر. 16

1-10     نیروهای کازیمیر و افت و خیزها 18

1-10-1   نیروهای مربوط به افت و خیزهای کوانتومی.. 18

1-10-2   نیروی کازیمیر مربوط به افت و خیزهای گرمایی.. 20

1-11     معرفی اثر دینامیک کازیمیر. 20

هشت
1-11-1   اثر دینامیک کازیمیر و شرایط مرزی.. 21

1-11-2     اثر دینامیک کازیمیر و شکل سطح مرزها 22

1-11-3     آزمایش هایی در مورد اثر دینامیک کازیمیر. 22

1-12   مانسته اثر کازیمیر در فیزیک کلاسیک…. 23

1-13   نقش اثر کازیمیر در شاخه های مختلف فیزیک…. 23

فصل دوم   کوانتش میدان های اسکالر و الکترومغناطیس با استفاده از قیود دیراک… 25

مقدمه. Error! Bookmark not defined.

2-1   معرفی دستگاه های مقید. 26

2-1-1   دستگاه های تکین و قیود. 26

2-1- 2   قیود نوع اول و نوع دوم. 29

2-1-3   کروشه دیراک…. 30

2-2    کوانتش سیستم های مقید. 30

2-3    کوانتش میدان کلین گوردون در حجم محدود با استفاده از قیود دیراک     32

2-3-1   حل معادله میدان کلین گوردون. 32

2-3-2   کوانتش دستگاه بدون حل معادلات حرکت… 33

2-3-3     محاسبه میدان کلین گوردون با شرط مرزی نویمان. 37

2-4   کوانتش میدان الکترومغناطیس با استفاده از قیود دیراک در حجم محدود  37

2-4-1   اصول کار. 37

2-4-2   کوانتش میدان الکترومغناطیسی.. 38

2-4-3    تعریف شرایط مرزی و محاسبه قیود. 39

2-4-4    اعمال قیود بر بسط مولفه های میدان. 41

فصل سوم خلاء الکترومغناطیسی.. 42

3-1    معرفی.. 43

3-2     نوسانگر هارمونیک…. 43

3-3     رابطه مدهای میدان و نوسانگر هارمونیک…. 45

3-4   کوانتش مدهای میدان. 46

3-5     میدان در فضای آزاد. 47

3-6    ضرورت میدان خلاء. 49

3-7   اثر کازیمیر. 50

 
 
نه
 

فصل چهارم نیروی کازیمیر برای میدان های اسکالر و الکترومغناطیس.. 54

4-1     میدان اسکالر کوانتیده در فاصله محدود. 55

4-1-1   منظم سازی میدان اسکالر با تابع نمایی.. 56

4-1-2     منظم سازی میدان اسکالر با تابعی دیگر. 58

4-2     نیروی کازیمیر برای میدان الکترو مغناطیس…. 59

4-2-1       صفحات رسانای موازی.. 59

4-2-2     به دست آوردن نیروی کازیمیر میدان الکترو مغناطیسی با استفاده از روش بررسی سازگاری قیود  62

4-3   فشار تابشی خلاء: توضیح فیزیکی نیروی کازیمیر. 66

فصل پنجم نیروی کازیمیر برای یک ریسمان باز 68

5-1   ریسمان باز در حضور میدان مغناطیسی B.. 69

5-2   معادلات میدان، شرایط مرزی و قیود ریسمان. 70

5-3   انرژی نقطه صفر ریسمان. 75

5-4   منظم سازی انرژی نقطه صفر و محاسبه نیروی کازیمیر. 76

5-5   حالت کلی دیگر. 77

5-6   نتیجه گیری.. 78

مراجع. 79

چکیده

هدف اصلی این پایان نامه پیوند بین دو مبحث دستگاههای مقید و اثر کازیمیر می باشد. نقطه مشترک این دو مبحث مهم را می توان در شرایط مرزی یافت. در این تحقیق برای به دست آوردن نیروی کازیمیر میدان های کلین گوردون، الکترومغناطیس و ریسمان باز، از روش کوانتش سیستم های مقید با در نظر گرفتن شرایط مرزی به عنوان قیود استفاده شده است. برای این منظور پس از محاسبه سازگاری قیود مذکور با هامیلتونی کل و اعمال زنجیره کامل قیود بر بسط فوریه مولفه های میدان مد   های غیر فیزیکی حذف شده و به فضای فاز کاهش یافت دست می یابیم. سپس با تبدیل کروشه دیراک مدهای باقی مانده به جابه جا گر، سیستم را کوانتومی می کنیم و عملگر انرژی را بر حسب مدهایی فیزیکی بیان می کنیم. منشا اثر کازیمیر در مقایسه مدهای حاضر در عملگر انرژی دستگاه دارای شرایط مرزی با دستگاه بدون مرز است. به بیان دیگر نشان می دهیم که اعمال قیود ناشی از شرایط مرزی منجر به حذف برخی از مدها و ظهور نیروی کازیمیر می شود.

کلمات کلیدی: اثرکازیمیر، دستگاه های مقید، شرایط مرزی، کروشه دیراک.

پیش گفتار

0-1   پیدایش اثر کازیمیر

از زمان انتشار مقاله معروف کازیمیر[1] مشخص گردیده است که تغییر در طیف افت و خیزها (چه کوانتومی و چه گرمایی) توسط مرزهای خارجی سبب ایجاد نوعی بر هم کنش می شود. اثر کازیمیر، در ساده ترین حالت، نیروی جاذبه بین دو صفحه صاف رسانای موازی است که منشاء آن تغییر حالت خلاءالکترومغناطیسی توسط مرزها می باشد. اگر بخواهیم در یک عبارت ساده منشاء ایجاد نیروی کازیمیر را شرح دهیم باید بگوییم که: شرایط مرزی،‌ طیف میدان کوانتومی ‌خلاء را تغییر می دهد و این تغییر طیف سبب پیدایش نیروی کازیمیر می شود.

اثر کازیمیر یکی ازنتایج اصلی الکترودینامیک کوانتومی (QED) است. توجیه این نیرو فقط در قالب الکترودینامیک کوانتومی امکان پذیر است و هیچ گونه تفسیر کلاسیکی از آن نمی توان یافت، به عبارت دیگر در حد کلاسیک(0ħ→) نیروی کازیمیر برابر با صفر می شود[2].

این اثر شامل نیرویی می شود که نه می توان آن را اثر بار، ‌نه گرانش و نه رد وبدل کردن ذرات بین دو جسم دانست. یک کمیت فیزیکی مهم در بحث نیروی کازیمیر فشار تابش میدان است. در غیر از حالت تشدید،‌ فشار تابش داخل حفره کوچک تر از بیرون است و صفحه ها به طرف یکدیگر جذب می شوند و چون ثابت شده است که در حالت تعادل ، مولفه های جاذبه کمی قوی تر از مولفه های دافعه هستند بنابراین برای دو

صفحه تخت کاملا موازی نیروی کازیمیر از نوع جاذبه است.

گر چه این نیرو فقط در فاصله های چند میکرونی قابل اندازه گیری است و مقدارش خیلی کوچک است ولی در فاصله های زیر میکرومتر، ‌قوی ترین نیروی بین دو جسم طبیعی به شمار می رود. هر چند ما در زندگی خود به طور مستقیم با این قبیل فاصله های کوچک سروکار نداریم اما اهمیت این فاصله ها در نانوساختارها و سیستم های میکروالکترومکانیکی (MEMS) مشخص می شود[3]. MEMS قابلیت های فراوان کاربردی در علوم مهندسی دارد و یکی از عمده ترین موارد استفاده آن در حال حاضر در سنسورهای فشار کیسه هوای اتومبیل ها است. از آن جا که قطعات MEMS در ابعاد میکرون و زیر میکرون ساخته شده اند، ‌نیروی کازیمیر باعث اتصال عناصر کوچک این قطعات خواهد شد. این اثر را می توان به نوعی از طریق فرضیه انرژی نقطه صفر (Zero Poin Energy) یا انرژی خلاء نیز بیان کرد. انرژی نقطه صفر به کوچک ترین انرژی امکان پذیر در یک سیستم مکانیک کوانتومی گفته می شود واگر بخواهیم رابطه آن را با نیروی کازیمیر بیان کنیم باید بگوییم که : نیروی کازیمیر مشهورترین اثر مکانیکی نوسانات خلاء است.

0-2   هدف کلی

پس از آن که بحث دستگاه های مقید و کوانتش لاگرانژی های تکین نخستین بار توسط دیراک و برگمن مطرح شد، مقالات و مطالعات زیادی در این مورد و کوانتش آنها انجام شد. با توجه به آنکه کوانتش این دستگاهها با اعمال قیود روی فضای حالتها انجام می شود، (که در مورد قیود نوع اول روی فضای حالت نرمال و در مورد قیود نوع دوم در فضای فاز کاهش یافته اعمال می شود)، از کروشه های دیراک به جای کروشه های پواسون باید استفاده کرد و سپس آنها را به جای جابه جاگرهای کوانتومی تبدیل کرد.

در پایان نامه [4]، کوانتش میدان های اسکالر و الکترومغناطیس به طور کامل مورد بحث قرار گرفته است. در این پایان نامه از نتایج مرجع[4] استفاده کرده و پس از در نظر گرفتن شرایط مرزی برای هر میدان به عنوان قیود دیراک و بررسی سازگاری آنها و به دست آوردن هامیلتونی و همچنین با استفاده از کروشه های دیراک به جای کروشه های پواسون، مؤلفه های میدان محاسبه شده است. سپس با استفاده از مؤلفه های میدان به دست آمده و هم ارزی این معادلات میدان با انرژی میدان و هم چنین اعمال ویژه بسامدها، انرژی خلاء را از جمع روی همه مدهای بردار موج و طول موج به دست می آوریم که به مقدار نامتناهی ω ħ می رسیم. برای متناهی کردن این مقدار از چندین تکنیک منطم سازی(تابع نمایی ، تابع زتای ریمان و تابع قطع) استفاده می کنیم. در نهایت از اختلاف انرژی خلاء فیزیکی( اعمال شرایط مرزی) و انرژی خلاء آزاد (بدون در نظر گرفتن شرایط مرزی) انرژی کازیمیر را به دست می آوریم. یعنی:

باید توجه کرد که هر تغییر در شرایط مرزی مقدار این انرژی را تغییر می دهد.در نهایت با محاسبه انرژی فیزیکی، نیروی کازیمیر با مشتق گیری نسبت به فاصله به دست می آید.

روشی که در بالا توضیح داده شد به طور اصولی در کلیه میدان های اسکالر و الکترومغناطیس به کار می رود. همچنین در مقاله دهقانی و شیرزاد [5] هامیلتونی برای ریسمان باز چه در شرایط معولی و چه در شرایطی که میدان مغناطیسی B بر ریسمان وارد می شود، به دست آمده است،کاری که در این تحقیق انجام شده است، همانند روش بالا انرژی خلاء را به دست آورده و با متناهی کردن آن توسط تابع زتای ریمان و سپس مشتق گیری از آن، نیروی کازیمیر در ریسمان باز چه در حضور میدان مغناطیسی و چه در غیاب آن را پیداکرده ایم.

0-3   محتوای پایان نامه

در فصل اول به طور مفصل به انرژی نقطه صفر، تاریخچه و مفهوم خلا کوانتومی ، پیدایش نیروهای وان در والس و در نتیجه ایجاد نیروی کازیمیر پرداخته شده است. و نشان داده شده است که نیروهای وان در والس را می توان به انرژی نقطه صفر ربط داد. سپس رهیافت های مختلف در به دست آوردن نیروی کازیمیر که شامل رهیافت انرژی نقطه صفر و رهیافت فشار تابشی نقطه صفر است را مورد بررسی قرار داده و در هر دو رهیافت پس از بررسی اختلاف آنها به نیروی کازیمیر رسیده ایم.

به مبحث مهم اثر دینامیک کازیمیر در سه قسمت وابستگی اثر دینامیک کازیمیر به شرایط مرزی، وابستگی آن به شکل سطح مرزها و اندازه گیری های تجربی این اثر پرداخته